相关系数公式怎么化简

相关系数是用来衡量两个变量之间关系强弱的指标。其公式为：

\[r = \frac{{\sum{(x_i-\overline{x})(y_i-\overline{y})}}}{{\sqrt{\sum(x_i-\overline{x})^2}\sqrt{\sum(y_i-\overline{y})^2}}}\]

其中，\(x_i\) 和 \(y_i\) 分别是第 i 个观测值，\(\overline{x}\) 和 \(\overline{y}\) 分别是两个变量的平均值。

为了化简相关系数的公式，我们可以按照以下步骤进行：

步骤1：对于分子部分，我们可以进行展开和化简。利用乘法公式展开得到：

\[\begin{split}\sum{(x_i-\overline{x})(y_i-\overline{y})} &= \sum{(x_iy_i - x_i\overline{y} - \overline{x}y_i + \overline{x}\overline{y})}\\

&= \sum{(x_iy_i)} - \sum{(x_i\overline{y})} - \sum{(\overline{x}y_i)} + \sum{(\overline{x}\overline{y})}\end{split}\]

步骤2：在分子的第一项中，我们可以将求和符号移出，并利用定义的均值来进行化简：

\[\sum{(x_iy_i)} = n\overline{xy}\]

其中，\(\overline{xy}\) 是\(x_iy_i\) 的均值。

步骤3：对分子的其他三项中的求和符号进行移出，并利用定义的均值进行化简：

\[\begin{split}\sum{(x_i\overline{y})} &= n\overline{x\overline{y}}\\

\sum{(\overline{x}y_i)} &= n\overline{\overline{xy}}\\

\sum{(\overline{x}\overline{y})} &= n\overline{\overline{x}\overline{y}}\end{split}\]

步骤4：在分母的两个平方根项中，我们可以将求和符号移出，并利用定义的方差进行化简：

\[\sqrt{\sum(x_i-\overline{x})^2} = \sqrt{n\sigma_x^2}\]

\[\sqrt{\sum(y_i-\overline{y})^2} = \sqrt{n\sigma_y^2}\]

其中，\(\sigma_x^2\) 和 \(\sigma_y^2\) 分别是\(x_i\) 和 \(y_i\) 的方差。

将以上化简后的结果代入原始的相关系数公式中，可以得到化简后的相关系数公式：

\[r = \frac{{n\overline{xy} - n\overline{x\overline{y}} - n\overline{\overline{xy}} + n\overline{\overline{x}\overline{y}}}}{{\sqrt{n\sigma_x^2}\sqrt{n\sigma_y^2}}}\]

在实际计算中，我们通常会进一步化简公式，将分子的项进行合并，使得计算更加简洁和高效。